高中数学概念课型教学研究

高中数学概念课型教学研究

新桥中学数学教研组

概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用。高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。
　　如何搞好新课标下的数学概念课教学？结合参加新课程的实验和课型研究的一点成果，谈谈一些看法。

一、基本模式

数学概念教学过程是在教师指导下，调动学生认知结构中的已有感性经验和知识，去感知理解材料，经过思维加工产生认识飞跃(包括概念转变)，最后组织成完整的概念图式的过程。为了使学生掌握概念、发展认识能力，必须扎扎实实地处理好每一个环节。数学概念教学模式为：引入—形成—巩固与深化。
　　 一、概念的引入
　　概念的引入是数学概念教学的必经环节，通过这一过程使学生明确：“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备。新课程标准提倡通过主动探究来获取知识，使学生的学习活动不再单纯地依赖于教师的讲授，教师努力成为学习的参与者、协作者、促进者和组织者。因此，在引入过程中教师要积极地为学生创设有利于他们理解数学概念的各种情境，给学生提供广阔的思维空间，让他们逐渐养成主动探究的习惯。一般可采取下述方法：
　　1.联系概念的现实原理引入新概念。在教学中引导学生观察有关事物、模型、图识等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的。例如：在椭圆概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出椭圆的定义。
　　2.从具体到抽象引入新概念。数学概念有具体性和抽象性双重特性。在教学中就可以从它具体性的一面入手，使学生形成抽象的数学概念。例如：立体几何里讲异面直线概念时，先让学生观察教室或生活中的各种实例，再看异面直线的模型，抽象出其本质特征，概括出异面直线的定义，并画出直观图，即沿着实例、模型、图形直至想像的顺序抽象成正确的概念。
　　3.用类比的方法引入概念。类比不仅是一种重要形式，而且是引入新概念的重要方法。例如：可以通过圆的定义类比地归类出球的定义。作这样的类比更有利于学生理解及区别概念，在对比之下，既掌握了概念，又可以减少概念的混淆。
　 　二、概念的形成
　　新课程标准强调学生在合作交流中学习数学，交往互动的教学模式适应了新课程改革的要求，它主要是以合作学习、小组活动为基本形式，充分利用师生之间、生生之间的多向交往、多边互动来促进学生学习，发挥学生学习潜能的教学方式。在概念的形成过程中充分利用合作学习，提高学习的效率。
　　1.在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念
　　新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：(1)用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；(2)用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；(3)任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出：(1)三角函数的值在各个象限的符号；(2)三角函数线；(3)同角三角函数的基本关系式；(4)三角函数的图象与性质；(5)三角函数的诱导公式等。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。
    2.重视概念中的重要字、词的教学
　　在概念教学中重要的字、词就是一个条件，应多角度、多层次地剖析概念，才有利于学生深刻地理解概念。例如：等差数列的定义：“一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。”这里“从第二项起”、“每一项与它的前一项的差”、“同一个常数”的含义，一定要透彻理解，让学生知道如果漏掉其中一句甚至一个字，如“同一个常数”中的“同”字，都会造成等差数列概念的错误。
　　3.在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念
　　数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量，平面角与空间角，方程与不等式，映射与函数等等，在教学中应善于寻找，分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。再如，函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来；另一种高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，函数可用图象、表格、公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，所以两种函数的定义，本质是一致的。当然，对于函数概念真正的认识和理解是不容易的，要经历一个多次接触的较长的过程。
　　 三、巩固深化概念，训练运用概念的技能
　　要使学生牢固、清晰地掌握概念，必须经过概念的巩固、深化阶段。
　　1.对易混淆的概念进行辨析，进一步理解其区别与联系，有比较才有鉴别。将易混淆的概念加以对比、辨析，明确它们的区别误概念，理解、巩固和深化概念的有力措施，也是形成清晰概念、层次清楚的认知结构的必然要求。
　　2.通过练习形成运用概念的技能
　　学习概念，是为了能运用概念进行思维，运用概念解决问题。依据认识论的观点，一个完整的教学过程必须经过“由感性的具体上升到抽象的规定”和“再由抽象的规定发展到思维中的具体”这样两个科学抽象的阶段。因而概念的运用阶段也是数学概念教学不可缺少的环节。但要注意，练习的目的在于巩固深化概念，形成技能，培养分析问题、解决问题的能力。因此，选题要典型、灵活多样，对题目的挖掘、探讨要力求深入。

二、应用策略
　　1、新概念、新知识的引入
    数学概念的引入，应从实际出发，创设情景，提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性。如在“异面直线”概念的教学中，教师应先展示概念产生的背景，如长方体模型，当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线，接着提出“什么是异面直线”的问题，让学生相互讨论，经反复修改补充后，给出定义：“我们把不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线”。
　　2、新概念、新知识的教授

新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如异面直线的定义，经历了以下三个过程：（1）利用模型，观察得出异面直线的形象理解；（2）用正确的数学语言来表述异面直线的定义；（3）应用异面直线的概念来解决实际问题。

　　3、新概念、新知识的应用。
    数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生的对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。

4、概念新授课教学活动中应注意的问题:

对于概念新授课的教学，情景教学在其中占据着很重要的地位。引入问题的情景恰当与否对于学生对概念的掌握和理解有着很大的影响。如异面直线的概念，异面直线问题是学生首次接触，因此给出一个合适的情景就显得非常有必要了。通过情景让学生初步感受空间两直线之间的位置关系，从而在形象上对异面直线有一定的感受。

在讲授过异面直线的概念后，为了能让学生对概念有更深的理解，可以通过下面的情景来帮助解决。如：（1）让学生观察教室中的课桌、灯等物体，举例说明哪些是异面直线问题（2）图形展示，让同学找出图中的异面直线。
　  通过数学概念教学，使学生认识概念、理解概念、巩固概念，是数学概念教学的根本目的。通过概念课教学，力求使学生明确（1）概念的发生、发展过程以及产生背景；（2）概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；（3）概念的名称、表述的语言有何特点；（4）概念有没有等价的叙述；（5）运用概念能解决哪些数学问题等。

在概念教学中，要根据课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材，优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和本质的目的。

三、教学案例

函数的奇偶性

【教学目标】

（1）从形和数两个方面进行引导，结合具体事例，理解奇偶性的概念。

（2）会利用定义判断简单函数的奇偶性

（3）在奇偶性概念形成过程中，培养学生的观察，归纳能力，同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法。 

【教学重点】

函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断

【教学难点】

对函数奇偶性概念的理解

【教学过程】

 （一）结合实例，激发兴趣

     师：在我们的生活中大家有发现具有对称性的事物吗？

        生：有喜字，蝴蝶，建筑物，麦当劳的标志等（感受生活中的对称美）。

（二）观察函数图像，形成数学概念

学生活动：作出下列两组函数图像，观察函数图像具有什么特征？

（1）y=x²     y=-1            (2) y=2x       y=

（课前学生已经完成，老师在课堂上直接将学生的作业用实物投影到黑板上让学生观察）

        师：初中时我们是如何判断函数图像关于轴对称？关于原点对称？

        生：翻折、旋转。

        师：今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律？

师：在的图像上任选一点，根据对称性，在函数图像上必有对应点——，这两点的坐标有何联系？

生：横坐标互为相反数，纵坐标相等。

师：纵观整个函数图像，自变量与函数值之间有何规律？

生：自变量互为相反数,函数值相等。

（引导学生将这个结论符号化，  ）

（三）建构奇偶性定义

偶函数的定义：如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,：那么就叫做偶函数。(板书)

师：函数图像关于原点对称，它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢？

（请同学们结合的图像进行观察）

      学生通过类比，很快得出奇函数的定义。

     奇函数的定义：如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有,那么 就叫做奇函数。(板书) 

   （四）概念辨析

      判断下列命题：对于定义在上的函数

（1）若f(-1)=f(1),则函数f(x)是偶函数；                             

（2）对于定义域内的无数个x，使得f(-x)=f(x),则函数f(x)是偶函数； 

（3）对于定义域内的任意x,使得f(-x)—f(x)=0，则函数f(x)是偶函数； 

（4）若f(-1)≠f(1),则函数f(x)不是偶函数；     

（通过这几个小题的练习，强化了概念中的任意的含义，也帮助学生进一步理解概念）

（五）例题精讲，加深理解。

例1：判断下列函数的奇偶性：

（1）      （2）        （3）

设计意图：通过第（3）小题让学生意识到判断函数的奇偶性，要先看函数的定义域，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，进一步体会定义中的“任意”两字的含义,小结中归纳出判断函数奇偶性的步骤。

      变式：判断函数的奇偶性。

（六）学生探索，活跃思维。

师：在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数，有是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数，那么有没有这样的函数，它既是奇函数也是偶函数呢？若有，举例说明。

【巩固练习】

1.对于定义在R上的奇函数f(x)：（1）f(x)-f(-x)>0;（2）f(x)-f(-x)<0;（3）f(x)·f(-x) 0;（4）f(x) ·f(-x) 0;一定满足的有________个；

2．函数为奇函数，则a=         ；

3.已知函数f(x)=ax²+bx+c  (2a-3≤x≤3) 是偶函数，则a=___， b=____， c___(填“数值”或”范围”)；

4.若f(x)是奇函数，则

5．已知函数是R上的偶函数，且在（-∞，上是减函数，若，

则实数a的取值范围是___________________；

6.判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)=x+x²  ；               （2）   ；  

（3）;        （4）;

（5）f(x)=3|x|+x²  ；            （6）f(x)=-x³ +5x；

7.已知

8.已知函数f(x)=x²-2|x|-1,试判断函数f(x)的奇偶性，并作出函数的图像。

【教后反思】

1、判断函数的奇偶性，是研究函数性质时应予以考察的一个很需要方面。它在计算函数值、探讨函数的单调性、绘制图像等方面均有用处，对学生来说，也是一个新概念，根据学生的接受能力，可将这内容安排两个学时进行教学：第一课时讲奇偶性的定义及判定方法；第二课时介绍它的应用，并与研究函数的单调性相结合。

2、引起新概念的过程，也是培养学生探索问题、发现规律、作出归纳的过程。因此，教学时不是生硬地提出问题，应力求顺其自然、水到渠成。讲新课要联系过去尚不甚巩固的知识，将新旧知识有机地融合在一起。

3、函数的奇偶性，看起来比较简单，学生学起来也也往往觉得乏味。因此，在组织教学时，必须考虑到如何使学生感到这些浅显的知识，还有一些值得思索与注意的地方。也就产说，要力求做到“浅显是有新意，平淡是有隽味”，使学生“不轻视容易”。（华罗庚说过，学数学要“不害怕困难，不轻视容易”。）这也是培养学生积极钻研精神的一个方面。

4、传统课堂教学模式受赫尔巴特理性主义教学理论的影响，导致课堂教学过分程式化和教师对教材的过分倚重。我国从应用理论中派生出的实践型教学模式总是把焦点过多地集中在教师行为上，认为“教学理论是关于教学即教学行为的理论” 。正是在这种以“教师行为” 为主导、“讲授──接受”为主要教学方式的教学模式中，教师的不可动摇的“正式权威地位”使教师成为课堂的主宰，并试图将学生的学习行为和学习期待纳入到自己的图式中。这种模式的弊端不言而喻。教师仿佛站在神坛上的布道者，学生的主体性被很大程度上限制了。这样的课堂何谈“高效”？课堂上不能高效，就会导致课后的“增负”，课后的“增负”又会对课堂效率造成影响。如此恶性循环，前景堪忧。因此，减负的落脚点得放在高效上，而高效的有力措施是创新有效的教育教学模式。而构建有效教学模式的起点是我们必须重新构建我们的教育教学理念，改变对教与学的关系的看法。从前我们都是觉得数学不需要预习，预习了以后会束缚学生的思维，但是我们的教学的目标是要让学生掌握知识，如果真的能让那个学生通过自己看书就掌握了的知识，我们教师再继续讲，就显得毫无意义。教师作为学生学习的引导者，更多的应把知识的产生背景，来龙去脉讲清楚，让学生能获得更过的知识。

所以本节课，是在学生的预习基础之上，首先对函数的奇偶性的概念有所了解，然后教师是强化概念并且帮助学生辨析概念，进一步规范解题，主体还是学生。