数学方法在高中物理教学中的应用

摘要：物理是一门精确的科学，与数学有密切的关系。数学是研究物理问题的工具,更是研究物理问题时进行科学抽象和思维推理的工具,在物理的教学过程中充分、合理地运用这些工具,可有效地提高教学质量的同时,还可提高学生的科学素养,培养学生解决实际问题的能力,增强学生的创新意识。

关键词：数学方法   高中物理  应用

随着新课程的深入，学科之间的贯穿不断加强，数学与物理的整合也日益紧密。新的物理学科的考试说明要求学生加强应用数学知识处理问题的能力，如利用函数关系、不等式关系、判别式法求极植问题，将物理现象抽象转化为数学表达式求轨迹等。如能适当、巧妙地运用数学知识解决物理问题，往往可以达到另辟奚径、曲径通幽的效果。掌握科学的方法比掌握科学知识更重要。在物理教学中,科学思维方法是学生获得知识,提高能力的桥和船,它能为学生的成功创造更多的机会和途径。为此,本文将从以下几方面谈数学方法在物理教学中的应用。

一、         高中物理中主要用到的数学方法

　在高中物理中主要涉及到的数学方法有函数方法、几何图形法、方程的思维方法。

1.函数在高中物理中的应用

物理规律，大都是运用函数图像，定性、定量进行研究，最后得出物理规律。

函数图像，在物理中，可以说是遍地开花。它通过数形结合，直观、形象地反映物理过程。加深人们对物理规律的理解，下面谈谈函数图像的应用。

(1)分析实验数据   得出物理规律

在物理实验中，先采取了控制变量法，测出两个物理量的数据，然后，进行数据分析：一种是计算法，另一种是图像法。而后一种更被人们认可，因为有些实验数据，无法通过计算，得到两个量之间的关系。只有图像法，以两个量分别为两条坐标轴，建立直角坐标，描点画出图像，就可以通过图像，定性或定量分析它们之间的关系，得出规律。所以函数图像，在实验数据分析中，起决定作用。

(2)运用函数图像   解决物理问题

函数图像，不光是在实验数据分析中，起决定作用，而且在解决物理问题中，化难为易，化复杂为简单，起到事半功倍的作用。

例如：做匀变速直线运动的物体，在某一段时间内，经过中点时刻的速度跟经过中点位置的速度，比较谁大。

分析：假如先设初、未速度，再根据经过中点时刻的速度 与经过中点位置的速度 分别跟初、未速度的关系，列方程，然后，运用不等式求解，要大费周折，才能解决。如果做出速度与时间的图像，一看就知道。如下图两种情况，显然是中点时刻的速度小于中点位置的速度。

小结：先根据物理规律，做出函数图像，再根据图像性质，判断两个物理量之间的关系，或求出某个物理量。

2.几何知识在高中物理中的应用

（1）平面几何的应用

在平面几何中，矢量，因有三角形而精彩，三角形，因有矢量而实用。

在矢量的合成和分解中，我们应用平行四边形定则进行运算，其实在运算过程中，主要是运用三角形性质，解决问题。那么，三角形在矢量中，除了直角三角形外，其他任意三角形，有哪些应用？

①两个三角形相似比的应用

例如如图所示，绳与杆均不计重力，所承受弹力的最大值一定，A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物P。现施拉力T将B端缓慢上拉（绳、杆均未断），在杆达到竖直前，下列说法中正确的是

A、绳子越来越容易断     B、绳子越来越不容易断   

 C、杆越来越容易断      D、杆越来越不容易断

分析：OB绳子的拉、物体的重力、AB杆的弹力共点在B点，设OB=S（变小），AO=H（定量），AB=L（定量） 。滑轮大小不计，对B点受力分析，如图可知

△ABO∽△PCB，得出对应边成比例，则

  T/G=S/H    即  T=SG/H   变小

  N/G=L/H    即  N=LG/H=恒量

可得：B答案正确。

②余弦定理的应用

例如物体受到夹角为120°的两个共点力作用，它们的大小分别为10N、20N，则物体合力的大小为多少？

分析：根据平行四边形定则，合外力平分的两个三角形，不可能是直角三角形，只能运用余弦定理求解，这两个三角形中，其中的一个角为180°-120°=60°，则有

F= = = N

余弦定理的应用，在二十世纪80年代，使用的甲种本课本有详细论述。

③正弦定理的应用

例如如图，用两条绳子拉质量为G的物体，平衡时，两条绳子跟竖直方向的夹角分别为 、 ，求两条绳子的拉力？

分析：如图，根据平衡条件，由△ABD得

   即

   即

（2）解析几何与物理

解析几何在中学阶段，在物理中的应用，很少看到。它究竟有没有功用，如何去开发？根据本人的理解如下。

①确定物体运动的轨迹

物体运动轨道，一般都是由物理现象，物理实验观察出来，很少通过理论进行推导，例如平抛运动，我们完全可以通过数学推导，得出平抛运动的轨迹是一条抛物线。

推导：在水平方向上有              ⑴

在竖直方向上有              ⑵

⑴、⑵两式，显然是关于时间的参数方程，把时间化去得      从这个方程中，看到它的轨迹，是一条抛物线。通过观察和数学推导，更加加深我们对平抛运动的理解。

②已知轨迹方程求物理量

例如一带电粒子，在垂直于磁场方向的平面运动，运动轨迹为 ，两坐标轴都以m为单位，粒子运动的速率为2m/s，在某时刻，突然撒去磁场，粒子恰好经过原点，求从撒去磁场到粒子达到原点的时间为多少？

分析：撒去磁场时，粒子以2m/s做匀速直线运动，离开时，必于原来的圆轨道相切，圆心、原点、切点构成一个直角三角形，圆心与原点的距离为     圆的半径为    根据勾股定理得原点与切点的距离为  从撒去磁场到粒子达到原点的时间为    无论粒子沿轨道顺时针（或逆时针）运动，结果一样。

（3）立体几何在物理中的应用

立体几何在物理中的应用，主要是将立体几何在数学中证明与计算的空间思维能力，潜移默化到物理中来，也就是在解决问题时，将三维空间转化为二维空间，简化解决问题的方法。

例如如图，A、B两质点以相同的水平速度 抛出，A在竖直平面内运动，落地点为 ，B在光滑斜面上运动，落地点为 ，不计阻力，比较 、 在轴 方向上的远近关系是

A、 较远     B、 较远       C、 、 等远       D、A、B都可能

分析：A在竖直平面内运动，说明A做平抛运动，则得

水平位移为   

 B在光滑斜面上运动，设倾斜角为 ，得   

沿斜面向下的加速度为  

B在斜面做类似平抛运动，在沿斜面向下的方向有

        即 

水平方向的位移为

          即

可知    较远   应选B

本题主要是将立体问题转化为平面问题求解，也就是数学，常用的一种思路。

3. 方程与物理

(1) 方程的应用

方程，在物理中，不仅在推理物理规律方面，起着关键性作用，而且在解决物理问题方面，更是必不可缺的资源。

在数学中，方程的种类众多，而在我们中学阶段，应用方程解决物理问题，主要是多元一次方程组，一元二次方程等等。

在解决问题时，一般都是由物理条件和物理规律，先建立方程，后根据方程求解，得出需求量。

例如某同学在斜向上运动的电梯上，以相对电梯不变的速度，从二楼走到一楼，数得电梯阶级60，从一楼走到二楼，数得电梯阶级20，求从一楼到二楼电梯的级数。

分析：由于只知上去和下来电梯的级数，电梯速度、人相对地速度、人相对电梯速度都不知，要得所求，先建立上去一个方程，下来一个方程，还不够，再根据运动合成的等时性，最后可求。

解：设从一楼到二楼电梯的级数为N，上去时，电梯运动的级数为M′，下来时，电梯运动的级数为M″，可得

上去时有    20+ M′=N       （1）

下来时有    60- M″=N       （2）

根据等时性得  M′/ M″=20/60=1/3   （3）

联立上面方程组解得：N=30

（2）判别式的应用

一元二次方程有没有解，是通过判别式来判定，当Δ>0时，有两个解；当Δ=0时，有一个解；当Δ<0时，没有解。

两个物体运动中相遇的问题，是否能通过判别式来判定呢？下面即这个问题进行讨论。

例如有一直轨道很长，可以通过两个物体A、B不发生相碰，B在A前方100m处，A以20m/s速度做匀速直线运动，同时B也以2m/s²的加速度从静止开始做匀加速度直线运动，则A、B物体是否相遇，若相遇，有多少次？

思路：由于同时出发，若相遇，所用时间相同，设时间，根据位移的关系建立一个关于时间的二次方程。直接解方程，或利用判别式求解。

解：设A、B两物体从出发到相遇的时间为t,则

    A经过的位移为   =20t

    B经过的位移为   =

依题意得

  即

­-20t+100=0    (这就是一个关于时间的二次方程)

根据判别式   Δ=（-20）²—4×100×1=0

可知A、B相遇，且只有一次。

二、         在教学过程中如何提高学生应用数学解决物理问题的能力

物理教学的目标重在培养学生掌握规律、分析问题的能力、知识迁移的能力和创新思维的能力，要达到这一教学目标，必须对学生进行实验方法的训练，科学推理、科学抽象法的训练，应用数学工具的训练。而应用数学的训练是诸多训练中的一个重要方面，在教学过程中应有目的、有梯度的引导学生应用数学知识解决物理问题。具体做法如下：
1、对学生反复强调数学、物理之间的联系
尽管在学习物理时无可避免地要进行大量的数学运算，但他们很少有人知道数学和物理的联系之紧到了何种程度。对此，我们可以结合教学内容，反复讲述数学在物理学中的创立和发展中起到的作用。在十七世纪以前的漫长岁月里，人们对许多物理现象的认识，多从“原因”和“效果”上进行思考，随着时代的进步，是以伽利略、牛顿为代表的一批科学家，创立起在系统的实验基础上，运用精确的数学方法去探索物理现象的规律，才使得物理从自然哲学中分离出来。伽利略关于时间和空间的数学论证和科学定量的实验方法，牛顿在伽利略、开普勒等前人工作的基础上，将互不相关的的力学知识，运用数学工具将它们联系起来，并用简单的数学表达式加以阐明，这种科学的思维方法和研究方法一直影响到近、现代物理学以及其他学科的研究。通过这样的不断讲解，学生才能认识到数学和物理确是密不可分，数学作为一门基础课的重要性，正是学习物理过程中突出地体现出来；而学习物理又可促进掌握所学到的数学知识。
2、做到主动与数学结合
在教学过程中主动与数学老师联系，在数学课上点明所学数学知识在学习物理过程中的作用。例如在讲解向量时，指明它在矢量运算中的应用；作简谐运动的质点、波的传播规律都可以用三角函数来表示；学习立体几何的空间概念对学习电场、磁场和电磁感应会起到十分重要的作用；可以用数学方法来求物理中的极值问题；可以应用数学中的排列、组合求解大量原子发射光谱线的问题等等。而物理老师在公式的推导和解答过程中，要力求用准确的数学语言和规范的数学推算来表达。教学实践表明，当学生从数学老师那里听到有关物理概念和规律时，或者从物理老师那里看到数学知识所起的作用时，骤然产生了一种“新鲜感”和“好奇心”，他们从中进一步体会到知识的价值和运用知识获到成功的满足，起到了诱发学习动机、增强学习兴趣的作用。
3、精选例题进行重点讲解
高中物理有很多能够说明数、理之间的这种紧密程度的问题，将它们挑选出来介绍给学生，运用物理知识进行分析、讲解的同时，指明在计算过程中用到的数学知识，这样做起到了触类旁通、加深理解的作用。

参考文献：《数学与物理》  作者：陈益尖