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《高中数学概念教学的实践与研究》小课题研究结题报告
作者：佚名 来源：《高中数学概念教学的实践与研究》小课题研究结题报告 发布时间：2017年07月21日 点击数：
《高中数学概念教学的实践与研究》小课题研究结题报告
双鸭山市第一中学 任佳惠
一、课题的提出背景
高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。长期以来，由于受应试教育的影响，不少数学教师重解题、轻概念造成数学解题与概念脱节、学生对概念含混不清，一知半解，不能很好地理解和运用概念。数学课堂变成了教师进行学生解题技能培训的场所；而学生成了解题的机器，整天机械地按照老师灌输的“程序”进行简单的重复劳作。严重影响了学生思维的发展和能力的提高。这与新课程大力倡导的培养学生探究能力与创新精神已严重背离。 “新课标下高中数学概念教学的研究”课题在这样的背景下应运而生。
数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式的体现。数学概念是数学知识的基础,是数学思想与方法的载体。正确理解数学概念,是掌握数学基础知识的前提。也是发展学生智力，特别是培养学生逻辑思维能力，提高学生自身素质的必要条件。
在数学教学中，加强概念的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提高解题能力的关键。但多数教师往往不注重概念的形成过程，只重视概念的运用，忽视数学知识的产生与形成的重要阶段。强行地将新的数学概念灌输给学生，无从体现学生的主体性，将严重影响学生形成真确的数学观，阻碍学生的能力发展。
二、研究对象与步骤
高中学生年龄一般在 15 — 17 周岁，他们认识过程的各种心理成份虽已接近成人的水平，但智力活动带有明显的随意性，其抽象思维从“经验型”向“理论型”急剧转化。能够逐步的摆脱具体形象和直接经验的限制，借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，因此，应结合学生的心理特点和思维规律，进行概念的教学。
（1）准备阶段（2015.3---2015.4）主要学习相关教学理论与学习理论，整理收集相关资料，及时了解国内相关研究动态。研究新课程教材内容，为具体实施阶段作好铺垫工作。
（2）实施阶段（2015.4----2015.8）主要是数学概念教学实践阶段，将自己学习到的一些理论及一些新的策略、方法应用于课堂实践当中，并及时作好学生课堂教学效果的反馈工作。及时总结、反思、调整自己的数学概念课堂教学，使之日趋完善。并在调整教学中写出相应的教学案例、论文向杂志社投稿或参加校、市评比。
（3）总结阶段（2015.8—2015.10）对自己的实践阶段进行全面反思、总结。并写出相应的结题报告。最后以《高中数学概念教学的实践与研究》，相关论文、案例上交教育部门验收评估。
三、研究过程与方法
掌握数学概念需要有一个过程。一般来说，数学概念要经历感知、理解、巩固和应用四种心理阶段。
第一阶段，创设情境，感知概念
“概念形成主要依赖的是对感性材料的抽象概括，概念同化主要依赖是对感性经验的抽象概括”。师生一起通过对具体事例或已掌握知识的分析，抽出的关键特征，摒弃非关键特征。
【案例】“直线与平面垂直”的概念教学片断
问题情境：首先请学生们观察生活中的具体实例形成感性认识。给出以下实例：
（1）将书打开直立于桌面，观察书脊和各页面与桌面的交线，显然都是垂直的；
（2）在开门的过程中，观察门轴和门与地面的交线始终垂直的；
（3）日光下，观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，尽管随着时间的变化，影子的位置会移动，但旗杆始终与影子垂直。
点评：从以上三个生活实例感悟直线与平面垂直的形象，从而形成直线与平面垂直的感性认识。然后通过动手实验、自主探索上升为理性认识。
第二阶段，自主探索，理解概念
对某类具体相同关键特征的事物命名，并使用学生能理解的方式陈述定义。
【案例】“抛物线及其标准方程”概念教学片段
第一步：在学生已有认知基础上设计问题，使学生体验新概念的一个具体背景。
师：前面我们已经学习了椭圆和双曲线的有关知识，请同学们试解决下面问题：
问题1：若点坐标满足，则点的轨迹是 。
（学生思考并动笔，教师巡视，个别指导。）
生1：我利用平方化简，但还没有做出来。
师：该同学平方化简，肯定可以得到答案，只是还需要一些时间，相信他一定能成功。
生2：上面式子表示两点距离之和，根据椭圆定义可知，点轨迹是椭圆。
（学生纷纷表示生2的解法是正确的）
问题2：若点坐标满足，则点的轨迹是 。
（学生认为是双曲线）
师：是双曲线吗？
生3：应该是双曲线的上半支。（由于第1题的解决对第2题有着提示和启发作用，所以第2题几乎所有学生都不再化简了，自然地联想到利用定义的解法中来，于是教师顺势抛出第3题。）
问题3：若点坐标满足，则点的轨迹是 。
生4：从条件的含义看，似乎不是椭圆，也不像双曲线。
师：到底轨迹是什么，生1解问题1的方法会给我们很好的启示。
（学生再次化简，片刻后，一直得到的轨迹是抛物线，因为它的方程是，初中已经学过。）第二步：剖析问题3条件的几何意义，并推出是否具有一般性的结论。
师：若把条件中的“2”改成其他数字（非零），结果如何？
生5：轨迹仍然是抛物线，只是方程中的数字不同而已。
师：那么条件所表示的几何意义又是什么呢？
生6：原方程即，左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，等式表示两个距离相等。
第三步：类比推广，从具体实例中抽象出抛物线的概念。
师：从问题3的分析中我们可以看出，满足这些条件的轨迹都是抛物线。于是我们抛弃这些具体的位置和数据外壳，得出抛物线的定义。请哪位同学根据上面的等式，说出抛物线的定义。
生7：到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
师：不太准确，应该是在“平面内”，接下来我们再用动画来演示一下这个定义下的轨迹
……
点评：本案例从学生已有知识出发，由易到难设计了3个问题，让学生在问题解决的过程中自主探究，对比发现，逆向生成抛物线的定义，再结合多媒体动画演示，同学们经历了一次“发现”，“创造”的过程，给学生留下较深刻的印象，对此概念的理解也将更准确更深刻。
第三阶段，步步为营，巩固概念。
在给出概念表述之后，教师应该区分学生对知识是理解记忆还是机械记忆，“是根据关键特征掌握概念，还是根据无关特征回答有关概念的问题。”教师可以举出一些与教材中叙述方式类似的新例子或不同于教材中叙述方式的新例子，帮助学生真正理解概念。
【案例】函数周期的理解
函数的周期性和最小正周期是学生难以理解的概念，在学生了解其概念后，为了帮助学生准确把握函数的函数周期性和最小正周期的外延，我设计了以下问题链，让学生讨论：
（1）函数（为常数）是周期函数吗？（）呢？（）呢？
（2）函数是周期函数吗？最小正周期是多少？
函数呢？
（3）函数，对都有，则的最小值是多少？
（4）作出函数与的图像。
点评：通过上述问题的研究，可以帮助学生弄清以下问题：（1）周期函数定义域的结构特征；（2）最小正周期的存在状况；（3）周期函数函数值的分布规律；（4）周期函数的图像特征．在此基础上，学生才能真正弄清周期函数、最小正周期的概念，
第四阶段，螺旋上升，应用概念。
“已经获得的概念可以在知觉水平上运用，也可以在思维水平上运用。”在知觉水平上运用是指当遇到这类事物的特例时，能立即把它看作是一类事物的具体例子；在思维水平上运用是指“新的概念或命题被某类属于包摄水平较高的原有概念或命题中，或一类已知事物的一个新的不大明显的代表被识别出来（在思维水平上分类）”。数学概念教学不仅要在知觉水平上运用，还要在思维水平上运用。在思维水平上运用数学概念是掌握数学概念关键特征的表现，更是培养学生逻辑思维能力的要求。《中学数学方法论》指出，“渗透整体思想，正确形成概念，并正确地运用概念来解释和理解数学内容，不能不成为最基本的要求之一。培养学生这种能力，就是在培养学生的逻辑思维能力，尽管它是思维能力中最基本的。”同时又指出，“概念的形成过程渗透了整体思想，在感性基础上运用分析、综合、抽象、概括，并进而得到本质认识的结果，教学中应尽量反映此过程。”
【案例】“曲线与方程”教学片断
在得出“曲线与方程”的关系后，如何进一步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”这些概念的本质，进一步体验“数”与“形”的转化与结合的思想方法。为此，教学中使用下面的例子，设计问题启发学生思考。
例1 下列哪条曲线是方程的曲线？请说明理由。
例2 下列哪个方程是下图中曲线C（两条相交直线：第一、三象限的直角平分线，第二、四象限的直角平分线）的方程？请说明理由。
A． B.
C. D.
点评：一个概念的形成往往是螺旋式上升的，逐步深化的，一般要经过具体到抽象，局部到整体，感性到理性的过程。教学中设计一些反例，让学生通过正、反例的对比辨析、鉴别真伪，从不同角度来认识定义文字所隐含的内容，从而达到“有比较才能鉴别，有鉴别才能深化认识”的学习效果。类似例1、例2这样带有反例的问题，其内容与学生的知识基础很接近，但又容易形成认识上的误区，具有一些思维上的挑战性，可能会给学生留下较深刻的印象。它们具有单纯正例所起不到的独特作用，教学中对此应予以关注，这对核心概念和重要思想方法的教学尤为重要。
四、研究成效
经过了一学期的教学实验与研究，本课题组基本确立了高中数学概念课教学的基本教学模式,即：感知理解巩固应用。
在研究过程中，重点针对概念课的引课，教学策略这两个方面进行。引课的方式应根据教学内容的特点而定，常用的引课方式有问题引入或直接导入，而引课的目的是揭示本节课的教学重点，引发学生的求知欲。教学策略应由学生的情况而定，可采用开放式教学，将本节课的主要问题交给学生，请学生以组为单位合作探究，并陈述结论。也可以教师引导教学为主，将本节课的教学内容分解成若干个小问题，层层递进，获得新知。
通过不断地教育教学与研究，案例分析，议课评课等活动，提升了整个教研组的教育教学水平，特别是对青年教师的成长有较大的帮助。一是对概念课的教学模式有了更加深刻的认识；二是明确了课堂的主体是学生，教师只是引导者，组织者；三是改善了个别教师的传统教学模式，放弃了题海教学，注重知识的形成过程，强化了对概念的理解。
有力地推动了学生三维目标的达成。因为本课题在具体的操作中，强调教学过程的直观性、形象性，强调知识的发生发展的过程，与实际生活的联系，强调学生活动的自主性、合作性，因而有力地推进了学生三维目标的达成。
五、问题讨论与建议
课题在研究与操作过程中，方式、方法日益匮乏。在教学交流、观摩学习的过程中，概念教学基本是同一模式，以教师引导教学为主，区别往往体现在教师的教学基本功上，即对教学内容的认识程度，对学生的掌控能力上。因此，在课题研究的后半年仅停留于对观摩课、优质课的评课与反思上。
缺乏理论指导。在课题实施伊始，查阅了大量的相关文献、资料。基本分为两类，一是理论研究，即对如何进行概念课教学，从教育学、心理学的角度分析，说明；二是具体课例，即学习、观摩各类优秀教学案例。但针对不同的课例，由于学生基础、教师教学素养等方面的差异，在课例实验的过程中，往往不得其法，很难实施下去。同时，由于课题组教师共事多年，教学方式相互影响，在教研过程中渐渐提不出更加新颖的意见或建议。
数学概念教学，不仅要让学生明白一些原理，更要让学生学会一种思维，一种对数学精神的领悟。成功的概念课，就如同一段美好的旋律，给人一种美好的体验，要让学生体会前辈的心路历程，探索先哲的数学思想，这才是数学教学的真谛，这才是数学育人功能的最好注释。
关于数学概念的教学，一直是教师们教学研究中的一个重要课题，可以说，对于不同定义方式揭示其本质属性的数学概念，其教学的“程序”也不一样，以上只是一种普遍策略，对有些概念的教学不一定适用。因此，在教学实践中，应不断加强教学研究，加强学术交流，不断提高数学概念教学的有效性，从而提高数学素质教育的质量。本项目的研究虽然暂告一个段落，但概念教学的探究之路依然还需要我们持之以恒地走下去，这个话题永远不老！
双鸭山市第一中学 任佳惠
一、课题的提出背景
高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。长期以来，由于受应试教育的影响，不少数学教师重解题、轻概念造成数学解题与概念脱节、学生对概念含混不清，一知半解，不能很好地理解和运用概念。数学课堂变成了教师进行学生解题技能培训的场所；而学生成了解题的机器，整天机械地按照老师灌输的“程序”进行简单的重复劳作。严重影响了学生思维的发展和能力的提高。这与新课程大力倡导的培养学生探究能力与创新精神已严重背离。 “新课标下高中数学概念教学的研究”课题在这样的背景下应运而生。
数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式的体现。数学概念是数学知识的基础,是数学思想与方法的载体。正确理解数学概念,是掌握数学基础知识的前提。也是发展学生智力，特别是培养学生逻辑思维能力，提高学生自身素质的必要条件。
在数学教学中，加强概念的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提高解题能力的关键。但多数教师往往不注重概念的形成过程，只重视概念的运用，忽视数学知识的产生与形成的重要阶段。强行地将新的数学概念灌输给学生，无从体现学生的主体性，将严重影响学生形成真确的数学观，阻碍学生的能力发展。
二、研究对象与步骤
高中学生年龄一般在 15 — 17 周岁，他们认识过程的各种心理成份虽已接近成人的水平，但智力活动带有明显的随意性，其抽象思维从“经验型”向“理论型”急剧转化。能够逐步的摆脱具体形象和直接经验的限制，借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，因此，应结合学生的心理特点和思维规律，进行概念的教学。
（1）准备阶段（2015.3---2015.4）主要学习相关教学理论与学习理论，整理收集相关资料，及时了解国内相关研究动态。研究新课程教材内容，为具体实施阶段作好铺垫工作。
（2）实施阶段（2015.4----2015.8）主要是数学概念教学实践阶段，将自己学习到的一些理论及一些新的策略、方法应用于课堂实践当中，并及时作好学生课堂教学效果的反馈工作。及时总结、反思、调整自己的数学概念课堂教学，使之日趋完善。并在调整教学中写出相应的教学案例、论文向杂志社投稿或参加校、市评比。
（3）总结阶段（2015.8—2015.10）对自己的实践阶段进行全面反思、总结。并写出相应的结题报告。最后以《高中数学概念教学的实践与研究》，相关论文、案例上交教育部门验收评估。
三、研究过程与方法
掌握数学概念需要有一个过程。一般来说，数学概念要经历感知、理解、巩固和应用四种心理阶段。
第一阶段，创设情境，感知概念
“概念形成主要依赖的是对感性材料的抽象概括，概念同化主要依赖是对感性经验的抽象概括”。师生一起通过对具体事例或已掌握知识的分析，抽出的关键特征，摒弃非关键特征。
【案例】“直线与平面垂直”的概念教学片断
问题情境：首先请学生们观察生活中的具体实例形成感性认识。给出以下实例：
（1）将书打开直立于桌面，观察书脊和各页面与桌面的交线，显然都是垂直的；
（2）在开门的过程中，观察门轴和门与地面的交线始终垂直的；
（3）日光下，观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，尽管随着时间的变化，影子的位置会移动，但旗杆始终与影子垂直。
点评：从以上三个生活实例感悟直线与平面垂直的形象，从而形成直线与平面垂直的感性认识。然后通过动手实验、自主探索上升为理性认识。
第二阶段，自主探索，理解概念
对某类具体相同关键特征的事物命名，并使用学生能理解的方式陈述定义。
【案例】“抛物线及其标准方程”概念教学片段
第一步：在学生已有认知基础上设计问题，使学生体验新概念的一个具体背景。
师：前面我们已经学习了椭圆和双曲线的有关知识，请同学们试解决下面问题：
问题1：若点坐标满足，则点的轨迹是 。
（学生思考并动笔，教师巡视，个别指导。）
生1：我利用平方化简，但还没有做出来。
师：该同学平方化简，肯定可以得到答案，只是还需要一些时间，相信他一定能成功。
生2：上面式子表示两点距离之和，根据椭圆定义可知，点轨迹是椭圆。
（学生纷纷表示生2的解法是正确的）
问题2：若点坐标满足，则点的轨迹是 。
（学生认为是双曲线）
师：是双曲线吗？
生3：应该是双曲线的上半支。（由于第1题的解决对第2题有着提示和启发作用，所以第2题几乎所有学生都不再化简了，自然地联想到利用定义的解法中来，于是教师顺势抛出第3题。）
问题3：若点坐标满足，则点的轨迹是 。
生4：从条件的含义看，似乎不是椭圆，也不像双曲线。
师：到底轨迹是什么，生1解问题1的方法会给我们很好的启示。
（学生再次化简，片刻后，一直得到的轨迹是抛物线，因为它的方程是，初中已经学过。）第二步：剖析问题3条件的几何意义，并推出是否具有一般性的结论。
师：若把条件中的“2”改成其他数字（非零），结果如何？
生5：轨迹仍然是抛物线，只是方程中的数字不同而已。
师：那么条件所表示的几何意义又是什么呢？
生6：原方程即，左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，等式表示两个距离相等。
第三步：类比推广，从具体实例中抽象出抛物线的概念。
师：从问题3的分析中我们可以看出，满足这些条件的轨迹都是抛物线。于是我们抛弃这些具体的位置和数据外壳，得出抛物线的定义。请哪位同学根据上面的等式，说出抛物线的定义。
生7：到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
师：不太准确，应该是在“平面内”，接下来我们再用动画来演示一下这个定义下的轨迹
……
点评：本案例从学生已有知识出发，由易到难设计了3个问题，让学生在问题解决的过程中自主探究，对比发现，逆向生成抛物线的定义，再结合多媒体动画演示，同学们经历了一次“发现”，“创造”的过程，给学生留下较深刻的印象，对此概念的理解也将更准确更深刻。
第三阶段，步步为营，巩固概念。
在给出概念表述之后，教师应该区分学生对知识是理解记忆还是机械记忆，“是根据关键特征掌握概念，还是根据无关特征回答有关概念的问题。”教师可以举出一些与教材中叙述方式类似的新例子或不同于教材中叙述方式的新例子，帮助学生真正理解概念。
【案例】函数周期的理解
函数的周期性和最小正周期是学生难以理解的概念，在学生了解其概念后，为了帮助学生准确把握函数的函数周期性和最小正周期的外延，我设计了以下问题链，让学生讨论：
（1）函数（为常数）是周期函数吗？（）呢？（）呢？
（2）函数是周期函数吗？最小正周期是多少？
函数呢？
（3）函数，对都有，则的最小值是多少？
（4）作出函数与的图像。
点评：通过上述问题的研究，可以帮助学生弄清以下问题：（1）周期函数定义域的结构特征；（2）最小正周期的存在状况；（3）周期函数函数值的分布规律；（4）周期函数的图像特征．在此基础上，学生才能真正弄清周期函数、最小正周期的概念，
第四阶段，螺旋上升，应用概念。
“已经获得的概念可以在知觉水平上运用，也可以在思维水平上运用。”在知觉水平上运用是指当遇到这类事物的特例时，能立即把它看作是一类事物的具体例子；在思维水平上运用是指“新的概念或命题被某类属于包摄水平较高的原有概念或命题中，或一类已知事物的一个新的不大明显的代表被识别出来（在思维水平上分类）”。数学概念教学不仅要在知觉水平上运用，还要在思维水平上运用。在思维水平上运用数学概念是掌握数学概念关键特征的表现，更是培养学生逻辑思维能力的要求。《中学数学方法论》指出，“渗透整体思想，正确形成概念，并正确地运用概念来解释和理解数学内容，不能不成为最基本的要求之一。培养学生这种能力，就是在培养学生的逻辑思维能力，尽管它是思维能力中最基本的。”同时又指出，“概念的形成过程渗透了整体思想，在感性基础上运用分析、综合、抽象、概括，并进而得到本质认识的结果，教学中应尽量反映此过程。”
【案例】“曲线与方程”教学片断
在得出“曲线与方程”的关系后，如何进一步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”这些概念的本质，进一步体验“数”与“形”的转化与结合的思想方法。为此，教学中使用下面的例子，设计问题启发学生思考。
例1 下列哪条曲线是方程的曲线？请说明理由。
例2 下列哪个方程是下图中曲线C（两条相交直线：第一、三象限的直角平分线，第二、四象限的直角平分线）的方程？请说明理由。
A． B.
C. D.
点评：一个概念的形成往往是螺旋式上升的，逐步深化的，一般要经过具体到抽象，局部到整体，感性到理性的过程。教学中设计一些反例，让学生通过正、反例的对比辨析、鉴别真伪，从不同角度来认识定义文字所隐含的内容，从而达到“有比较才能鉴别，有鉴别才能深化认识”的学习效果。类似例1、例2这样带有反例的问题，其内容与学生的知识基础很接近，但又容易形成认识上的误区，具有一些思维上的挑战性，可能会给学生留下较深刻的印象。它们具有单纯正例所起不到的独特作用，教学中对此应予以关注，这对核心概念和重要思想方法的教学尤为重要。
四、研究成效
经过了一学期的教学实验与研究，本课题组基本确立了高中数学概念课教学的基本教学模式,即：感知理解巩固应用。
在研究过程中，重点针对概念课的引课，教学策略这两个方面进行。引课的方式应根据教学内容的特点而定，常用的引课方式有问题引入或直接导入，而引课的目的是揭示本节课的教学重点，引发学生的求知欲。教学策略应由学生的情况而定，可采用开放式教学，将本节课的主要问题交给学生，请学生以组为单位合作探究，并陈述结论。也可以教师引导教学为主，将本节课的教学内容分解成若干个小问题，层层递进，获得新知。
通过不断地教育教学与研究，案例分析，议课评课等活动，提升了整个教研组的教育教学水平，特别是对青年教师的成长有较大的帮助。一是对概念课的教学模式有了更加深刻的认识；二是明确了课堂的主体是学生，教师只是引导者，组织者；三是改善了个别教师的传统教学模式，放弃了题海教学，注重知识的形成过程，强化了对概念的理解。
有力地推动了学生三维目标的达成。因为本课题在具体的操作中，强调教学过程的直观性、形象性，强调知识的发生发展的过程，与实际生活的联系，强调学生活动的自主性、合作性，因而有力地推进了学生三维目标的达成。
五、问题讨论与建议
课题在研究与操作过程中，方式、方法日益匮乏。在教学交流、观摩学习的过程中，概念教学基本是同一模式，以教师引导教学为主，区别往往体现在教师的教学基本功上，即对教学内容的认识程度，对学生的掌控能力上。因此，在课题研究的后半年仅停留于对观摩课、优质课的评课与反思上。
缺乏理论指导。在课题实施伊始，查阅了大量的相关文献、资料。基本分为两类，一是理论研究，即对如何进行概念课教学，从教育学、心理学的角度分析，说明；二是具体课例，即学习、观摩各类优秀教学案例。但针对不同的课例，由于学生基础、教师教学素养等方面的差异，在课例实验的过程中，往往不得其法，很难实施下去。同时，由于课题组教师共事多年，教学方式相互影响，在教研过程中渐渐提不出更加新颖的意见或建议。
数学概念教学，不仅要让学生明白一些原理，更要让学生学会一种思维，一种对数学精神的领悟。成功的概念课，就如同一段美好的旋律，给人一种美好的体验，要让学生体会前辈的心路历程，探索先哲的数学思想，这才是数学教学的真谛，这才是数学育人功能的最好注释。
关于数学概念的教学，一直是教师们教学研究中的一个重要课题，可以说，对于不同定义方式揭示其本质属性的数学概念，其教学的“程序”也不一样，以上只是一种普遍策略，对有些概念的教学不一定适用。因此，在教学实践中，应不断加强教学研究，加强学术交流，不断提高数学概念教学的有效性，从而提高数学素质教育的质量。本项目的研究虽然暂告一个段落，但概念教学的探究之路依然还需要我们持之以恒地走下去，这个话题永远不老！
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