《初中数学“有效作业”的设计与评价的研究》结题报告

《初中数学“有效作业”的设计与评价的研究》结题报告

一．课题概述

本课题自2011年4月开始选题。选题过程中，我们专门请有关领导和专家结合我校课堂教学的实际情况，对我校数学教学进行了全面的分析和论证，在广泛听取了课题组全体成员的意见和建议后，确定本课题的研究方向——对初中数学“有效作业”的设计与评价的相关问题进行深入的研究，于2011年6月向市教研室申报，并被批准为镇江市级第九期立项课题。自选题伊始，我们课题组全体成员做了一系列的大量工作，从确定研究方向、申请、立项、开题直到课题的深入研究，一直认真踏实地开展研究.全体课题组成员在组长的领导下，根据教学的现状和实际水平，积极地探索工作方法，不断尝试创新，不断去摸索，获得了一定的经验与方法，总结了一些策略，（期间由于研究本身的需要，加之胡荣梅组长工作变动，课题组及时应对，迅速调整研究结构和研究步骤，本课题的研究共持续了4年时间）向各位专家作如下汇报：

二．课题研究背景

新课程改革倡导“以学生为本、减负增效”，教学行为要突出有效性。然而，我们遇到的突出问题是：教师除了备课、上课，还要批改大量的作业。学生除了听课、上课，还有繁重的作业任务。教师教得很辛苦，学生学得很痛苦。师生双方存在着负担重、效益低的问题。

在教学过程中，我们可能会碰到这样的问题，就是我们备课很认真，上课也很认真，但学生的作业状况却不尽如人意，甚至出现抄袭、应付、拖欠、不订正作业、不做作业等现象。通过调查分析，我们认为主要与以下几个方面有关：

1．作业本身存在的问题

①作业内容：重知识再现，轻知识运用；

②作业形式：重统一规范，轻个性发挥；

③作业评价：重标准答案，轻思考过程；

④作业目的：重巩固检测，轻导学激励。

2．作业设计存在的问题

①课标理解不透，设计的作业存在繁、难、偏、旧现象；

②学情把握不准，设计的作业不合学生胃口；

③作业素材、题型、方式创新不够，设问存在假、大、空等问题；

④设问的角度、语言的表述、内在逻辑没有贴近学生的认知特点。

3．作业管理存在的问题

①教师布置的课后作业过多，完成作业的时间较长；

②教师作业批改量大，负担重，批改质量难以保证；

③作业反馈、订正不及时，问题不能及时得到解决；

④缺乏评价和记录，未能发挥作业“激励”的功能。

4．作业态度存在的问题

①学生学习兴趣不高，作业态度不端正，不想做或应付了事；

②学生对社政学科的重视程度不够，认为没有其它学科重要。

5．答题能力存在的问题

①学习效率不高，知识储备不够，有些作业做不来；

②审题不清，答题技巧不够，语言表述不规范，表达不到位。

上述种种问题的存在，是我们一线教师必须面对和思考的问题。

鉴于以上认识，我们提出开展此项课题研究，试图探索出设计学生作业的具体策略，以丰富学生的作业内涵，改善学生的数学学习，切实减轻学生过重的课业负担，提高学生的数学学习效果，为“轻负担高质量”工作走出一条有效途径。

三．课题的界定

1.有效作业的内涵：

从质量角度看，有效作业就是有效率和效果的作业。所谓效果就是指达到预期的目标，效率就是以少的投入取得大的收获。有效作业是一个动态的转化过程：有效作业从有效的“理想”转化为有效的“思维”，再转化为有效的“实践”，从过程看，有效作业是在特定的教学环境和条件下，师生间有效的教和有效的学的交流、互动，以实现预期的教学目标的实践活动。

2.初中数学有效作业的设计：

初中数学有效作业的设计应以“关注学生的生命发展”、“关注学生的个性发展”为指导思想，即一切为了学生的发展，为了一切学生的发展，关注学生的个性化发展，关注学生的主体性发展。其内容主要包括作业作业目标、内容、形式。“有效作业设计”指的是根据教学目标、教学内容、各个层次学生的认知水平，设计出最合理的的作业。

在作业的设计上要体现计划性、针对性和实效性；让学生通过完成作业实现自主学习、合作学习、探究学习，使作业适应不同基础、不同性格、不同习惯、不同兴趣的个体。

3.初中数学作业设计和评价方式最优化的策略：

初中数学教师在教学过程中，根据新课标的理念，设计最合理的作业，通过对作业目标、内容、形式、方式和作业评价方式的研究，达到优化课堂教学过程的目的，教师努力形成新的教学理念，切实提高学生的数学综合运用的能力。

四．课题研究的目标和内容

1.研究的目标：

通过研究探索不同类型的多元化作业的设计方式、方法与策略，让学生通过多元化的作业及评价，感受自己的价值，乐于作业，提高对数学的综合应用能力。

（1）改变当前作业设置单一、枯燥的现状，拿出符合学生身心发展和、认知规律的作业内容、方式与策略，提高作业设置的科学性。

（2）通过该课题的研究，培养学生自主作业的积极性，使作业成为学生期待并乐于参与的一种学习形式。

（3）培养学生形成自我评价的意识、自主指导自己学习的能力，切切实实落实作业的有效性。

（4）通过研究，使教师发现作业布置中的基本规律，切实减轻学生的课业负担。

2.研究的内容与重点：

现在老师们把主要经历放在了课堂改革上，针对这一特点，我们从作业角度出发，从事课题研究，主要从作业布置的方式、方法以及教师评价的方式、方法进行问卷、总结，发现问题，解决问题，并从中总结出有效的作业布置与评价方式、方法。不仅减轻学生的写作业负担，还要减轻教师批改作业的负担，同时减负绝不减质，更要把作业的最大效益发挥出来。

（1）充实“有效作业”的内容

为学生布置什么内容的作业是改革学生数学作业设计的一项重要途径，为此我们从三个方面进行探索，以丰富作业的内容。

a.从数学教材中精选作业

数学教材是学生学习数学的既定性教材，在学生学习中占有非常重要的作用。而教材中的练习即可以作为学生预习的内容，又可以作为学生复习的材料。使用好教材作业对于学生学习、巩固新知有着非常重要的作用，我们将根据教材特点与学生掌握知识的实际，精选教材中的作业，让学生得到有效的练习。

b.根据教学内容改编作业

在教学中，教材给我们的习题往往比较简单，但如果我们改编习题，学生对新知的理解和掌握就会更进一步。

c. 根据教学内容拓展作业

练习都具有一定的局限性，如果教师不加以拓展，就难发挥习题的作用。我们将根据知识的本质特点，拓展作业的形式、内容与方法，让学生的作业没负担，但有思考。

（2）丰富“有效作业”的形式

作业不被学生喜欢的主要原因是教师布置的作业枯燥、缺乏新意。为此，我们在研究中尽可能的改变学生的数学作业形式，变原来单一的练习与计算为主为多种形式的作业，在研究中我们将特别注重四个方面的作业布置。

a.游戏性作业。

为了激发学生的学习兴趣，我们在各年级将设计诸如玩数学游戏、与家长对话等富有童趣的游戏性作业，让学生在游戏中获得知识，提高学习的有效性。

b.实践性作业。数学来源于生活，又服务于生活。利用学生的所学知识，应用于学生的生活，可以提高学生的学习兴趣，促进学生的学习。

c.探究性作业。只有通过动手实践、自主探索与合作交流的学习，学生对数学知识、技能才能真正理解和掌握。

d.综合性作业。学生在作业的过程中是以“积极的心态，调动原有的知识和经验，尝试解决新问题，同化新知识，并积极建构新知识”的主动学习的过程。因此，我们将为学生提供各种机会，引导他们把知识应用到实际生活中去解决问题。

（3）改革“有效作业”的布置

a.作业数量的分层。

作业量的分层是指根据学生的个体情况和对其发展要求的不同进行增减。

b. 作业难度的分层。针对学生数学能力有差异的客观事实，着重找准每类学生的最近发展区，根据学生层次差异把作业设计成难度不同的作业，让学生自主选择，从而使不同发展水平的学生都能较好地参与作业，享受到作业的快乐。

c. 作业题型的分层。

基础题：要求全体学生完成，分计算与练习两部分。计算主要是提高学生的计算能力；当天反馈题主要针对当天的教学内容，以及学生在课堂中的实际学习情况，设计具有代表性的反馈性习题，以达到巩固当天知识的目的。

选做题：要求学生根据自己的实际进行选择，分典型错误题和预习尝试题。典型错误题主要针对前面所学的知识，有意识地设计典型错误题或是学生遗忘知识题；预习尝试题主要是根据下节课学习的内容设计习题让学生先预习后尝试，达到教学的目的。

拓展题：要求学生根据自己的兴趣进行选择，分知识探究题与实践综合题。知识探究题主要培养学生的思维能力；实践综合题主要培养学生合作、操作等能力。

（4）优化“有效作业”的批改

a.同桌互改。学生互批互改作业，不仅可以减轻教师的作业批改负担，更重要的是通过互批互改，培养和发展学生的观察、分析和判断问题的能力，从主观上提高对自己作业质量的要求。

b. 教师面批。对于拓展题，由于其难度大，思维强度高，学生容易做错或因理解不到位而做题偏面。

（5）改善“有效作业”的评价

a. 更新评价标准：评价不是给学生一个结论或给学生排队，而是为了促进学生的发展。

b. 改善评价方法：评价方法将尝试改变以往用对、错的评价和一次定性的评价。

c. 充实评价内容：传统的作业评价，内容比较单一，或“√”或“×”，或以分数的形式给学生作业进行定性，缺乏儿童化。为此，我们在评价时，将选用一些学生喜欢的卡通标志或图案来激励学生，或以等级+评语的形式来认定学生作业的完成情况，学生的自尊心不会受到伤害。

五．理论依据

美国密苏里大学的教育学教授哈里斯·库珀（Harris CooPer，1997）曾就美国教育中的作业问题作过广泛而深入的研究。他发现了作业的许多正面功效，其中包括改进学生的学习技能，帮助学生获得更多的事实性信息，发展学生的自主性和责任心以及促使家长对其子女教育的参与等等。但是，他同时认为，作业的负面效应却更为显著，只注重“量”而不重视“质”的作业的危害更大，它会压垮学生，并使他们感到厌烦；它会使得学生不能利用放学后的时间去从事更为主动的追求，并导致他们为按时完成作业而设法寻找捷径(如抄袭)；它还会助长家长对其子女学习的干涉等。

“作业”是数学教学过程中必不可少的环节，有效的作业对于学生巩固知识、形成技能技巧、培养和发展能力，提高学生的数学素养有着十分重要的作用。然而在我们的教学中，对作业的处理存在着很多的问题：作业布置内容统一、训练形式单一、重数量轻效果、批改老套。以致使得作业不但不能发挥它应有的作用，反而使学生产生“厌作”的负面影响。

在当代，我国对作业等方面进行过研究的比较多，提出了作业布置要要把握好作业“量”与“质”的关系、把握好作业的管理功能和发展功能的关系、要设计多种形式、性质的作业等观点，相比而言，对“初中数学“有效作业”的设计与评价的研究”研究目前还比较欠缺。

“轻负担高质量”教学工作已实施两年，一线教师大都把改革重点放在课堂教学上，对作业的研究却很少，其实作业在实施“轻负高质”过程中有着非同寻常的作用：

1、有效作业是巩固课堂基础知识的重要手段。

凡作业都与教学内容有联系，学生为了正确解答作业，就要回顾课堂教学，这就起到了消化和复习的作用。

2、有效作业是培养学生技能技巧的有效载体。

数学也有一定的技能技巧，而作业则是有效培养学生技能技巧的重要载体。

3、有效作业是促进学生个性发展的体验过程。

作业作为数学课堂之外的又一次有意义的数学活动，给了个体以自由发展的机会，促进了学生个性的发展。

 

六．研究原则

1.全员性原则。本课题的研究只有建立在全员参与的基础上才能体现人文情怀，体现社会化和个性化完美结合的全新教育。

2.主体性原则。主体性是人的特征，表现为独立自主性、自觉能动性、积极创造性。实践证明，人的主体性是客观的，如果我们充分培养和发展人的主体性，我们的教学就能达到事半功倍的效果。因此本课题的研究必须尊重学生的主体性。

3.交互性原则。学生的理解、感悟、体验都需要在信息碰撞中明确，在争鸣中强化，在交流中受到启迪，借鉴而开窍顿悟。

4.活动性原则。知识本身就是一种活动，教学也是一种活动。活动能让人产生兴趣，生成则因扩大了学生多元学习的机会而更能激发学生的好奇心和成就欲望。因此，通过灵活的作业设计，尽可能激活学生潜在的认知结构，最大可能调动出学生的知识储备，为使学生能在学习中体验成功打下基础。

5.激励性原则。激励是学生学习的原动力。未来好教师的标准或许未必是知识渊博的程度，而是因为他懂得在最恰当的时机给学生以最恰当的激励。

七．课题研究的具体实施

1.课题研究的步骤

基于课题研究的实际需要，和课题原组长胡荣梅同志工作的调动，我们课题组适时调整了本课题的研究步骤，具体方案如下：

（1）准备阶段：（2011.8—2011.12）

a.收集查阅相关资料，了解国内外在该领域的研究现状，了解已有的研究成果；

b.学习有关理论，理解课题的意义，认识本课题研究的价值。

c.课题研究的方案设计，成立了研究组织，制订了具体的研究计划和工作措施

（2）实践探究阶段：(2012.1.—2013.12.)

a.开展问卷调查。

①开展我校学生学情研究，把握我校学生主要的薄弱环节。

②我校作业情况的调查分析研究。对学生进行问卷调查，从学生的爱好，学生意愿出发来进行分析。

b.规划设置阶段，开展行动研究。

①课题研究人员进行实质性的实验和研究。

②抽样调查、研究、分析，总结经验，发现问题。

③阶段性成果收集，进行阶段性总结。

(3）结题准备阶段: (2013.12—2015.6 )

a.收集、整理、分析课题研究资料。

b.归纳整理研究资料形成初步成果。

c.对初步成果的总结和再认识。

(4）全面总结阶段: (2015.6—2016.3 )

a.收集、整理、分析课题研究资料。

b.进行课题总结，形成课题研究结题报告。

c.申请成果验收。

2.课题研究的方法

（1）文献资料法：广泛搜集与课题相关的资料，并组织课题组成员学习先进理念，提升理念，以前沿的理论指导实践。

（2）行动研究法：邀请教研组全体教师一起制定方案，县教研室专家定期指导及时调整数学作业设计、评价的行动方案。

（3）调查研究法。通过教学中教师作业设计与评价的现状调查分析，构建适合本校数学教学的作业设计与评价策略。

（4）经验总结法：总结经验教训，在理论上构建数学作业多元化的基本体系和有利于学生全面发展的作业评价方式。

八．研究成果

1.促进了参研教师的专业成长：

（1）提高了教师的作业设计能力

课题组教师已形成一定的作业设计策略和经验，教师能够自觉按照课题研究内容的方向，积极实践，提高了作业设计的能力。

（2）提升了教师的教科研能力

在课题研究过程中，教师的教育理论水平及操作能力有了显著的提高。在教中研，在研中教。教师积极思考、深入研究、反复实践、精心提炼，积极撰写心得体会，并不断改进作业的设计，重建教学模式，推动了课题研究实施的同时，也促进了教师教科研能力的不断提高。

2．为学生的可持续发展奠定基础

（1）提高了学生的作业效度

通过实践训练，学生完成作业的效率有了很大的提高，积极性得到了极大地调动，学生爱做、愿做数学作业，体验到了自主与实践的乐趣。这是我们追求的作业实效性，也为“减负提质”做了很好的尝试。

（2）改善了学生的作业情绪

给了学生作业选择的空间，学生可以根据自己的喜好选择自己愿意做的作业，学生变 “厌做”为“乐做”，变“苦学”为“乐学”，学生做作业开始从“外在驱动”向“内在自觉”转变。

（3）增强了学生的合作能力

一些较为复杂的数学作业离不开同学之间的合作。为完成这一类作业，学生既分工，又合作，相互鼓励，群策群力，互相帮助，在交流中学会了合作，在合作中提升了能力。

（4）提高了学生的综合素质

科学的作业设计是集观察、调查、参观、游览、实验、讨论、交流于一体的活动，有利于培养学生的综合素质。

3．推动了教研组的建设

（1）有利于研讨交流，总结经验

在平时的教学中，备课组成员积极合作，研讨学生作业的设计及完成方式，不断总结经验；

（2）有利于加深彼此的了解、沟通

备课组成员定时交流心得体会，共同承担挫折带来的压力，分享成功带来的喜悦，加深了彼此的了解、沟通，促进了有效合作及默契度。

4.总结了一些有效作业设计的策略

（1）积极实施因材施教,设计分层次的数学作业.

新课标中指出促进学生发展，并非要让每个学生，每个学生的每一个方面都要按统一规格平均发展，而是有差异的发展。为此，我设计作业时充分注意到各个层次的学生，既让学困生跳一跳能摘到“桃子”，又能保证学优生免受“饥饿”之苦。我根据不同层次的学生，设计不同的作业。具体做法如下：

首先对学生的实际情况充分的了解，根据学生的智力、基础和学习态度等，将学生大致分成三个层次：

A层：基础、智力较差，接受能力不强，学习积极性不高，成绩欠佳；

B层：基础和智力一般，学习比较自觉，有一定的上进心，成绩中等左右；

C层：基础扎实，接受能力强，学习方法正确，成绩优秀。

作业我是这样设计的,一是面向A层学生的放缓坡度题，也就是根据差生的学习水平和教材内容，将难度较大的课后习题分解成几个小题或给予具体提示。这样，既缓和了差生学数学难的状况，切实减轻了差生过重的课业负担，又增强了他们求知的积极性。二是面向B层学生的巩固练习题，即是根据中等生设计的，一般指教材后的习题；三是面向C层学生的拔尖提高题，即是根据优生学习水平和教材内容设计的要求较高、难度较大的题目。

如，学习《垂径定理》后，教师可以设计这样的作业：这样做进行了不同层次的学生的指导，提高了不同层次学生的能力，同时C层学生借助A、B层学生的问题台阶攀上了更高的层次，提高了他们综合分析问题的能力。这样的教学为不同层次的学生留有了实践和发展的余地。

（2）设计具有趣味性的数学作业,激发学生学习兴趣.

作业设计要注重其趣味性，把知识点融在情景之中，使学生在“趣”中学，“趣”中练，由旧“趣”促新“趣”。使学生觉得完成作业不是一件苦事或沉重负担，从而表现出喜悦和求知欲望，激起克服困难的意志，在轻松的气氛中大大增强创新能力。做法如下：

①自编或改编学习交流题：教师重在帮助学生学会内容整理。每次编题后，教师取样讲评，再到学生互评，再重新改编，然后自由交换答题，教师答疑和协调，评选最佳编题和答题。学生在编题过程中学会了知识的归类和整理，在一定程度上模拟了知识的运用过程。编题后的互测，增强了学生的自信心和健康的竞争意识，愉悦身心。学生通过担当评价者的角色，参与了对作业设计和完成结果的评价，提高了他们的自我价值感。

例如学完《数轴》后，让学生回家自己编题。有位同学编得了这样有趣的数学题。题目：乌龟约兔子在数轴上赛跑，虽有不自量力之嫌，但毕竟精神可嘉。乌龟说：“我们以表示-2000的点A为起点，你让我先跑4000个单位到B点，你就永远追不上我！因为当你追到B点时，我又跑到了C点，当你追到C点时，我又跑到了D点……如此无限的进行下去，你不是永远也追不上我吗？”请你边思考乌龟的诡辩（这就是历史上著名的“芝诺悖论”），完成下面龟兔的问题：（假设兔子的速度100单位/秒，乌龟的速度1单位/秒)

1） A、B两点的距离是多远？B点表示什么数？

2） B、C两点的距离是多少？C点表示什么数？

3）当兔子追上乌龟还差0.4个单位时，他们分别位于何处？

4）兔子总共花了多少时间可追上乌龟？追及点在何处？

②自主查找阅读型：信息时期，知识更新周期日趋缩短，教师在教学中，要培养学生的自主学习能力，以满足终身学习的需要。查找阅读型作业正是增强学生自主学习能力的有效手段。教师可以结合教学的内容，经常地提出一些趣味奇妙的，富于诱惑力的数学问题，引导学生在课后查找相关的书籍或网络并进行阅读，写下读书笔记。为便于检查和激发学生的兴趣及培养学生自信心，查找阅读的结果可以在课堂上让学生以“数学小故事”的形式呈现，并说明资料的来源处。

学生在展示、汇报自己“杰作”的过程中，享受着被人认可和欣赏的快乐， “作业交流”成为了学生表现自我，展示个性的舞台。

③活动型作业：这是以趣味数学、想象创意、猜数学谜语、小制作、小设计、小发明、小辩论等形式为主导，以趣味性、灵活性为作业内容，来激发学生参与，促进学习，活跃思维为目标的一种作业形式。可以将题目写在教室后的黑板报中，供学生课余、课后时间竞猜、探讨与辩论。学生在愉悦趣味的情境中，各抒己见，互相交流，共同探讨，运用数学语言完整，准确、简洁地表达自己的见解，会听别人的发言。也锻炼学生雄辩的口才，严谨的逻辑，灵活的应变，敏捷的思维，培养学生团结合作精神和竞争意识。

（3）创设具有现实性的数学作业，体现数学的应用价值

数学作业设计应从学生的身心发展特点出发，切入学生的生活经验和已有知识，只有设计出富有生命力的数学活动，才能使学生有更多的机会从周围熟悉的事物中学习和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学的作用，从而对数学产生亲切感，更多地关注数学知识本身在实际生活中的应用，通过作业去解决日常生活中的问题，学习一些生活能力，为以后进入社会打下一个好的基础。例如，在学习了《一元一次方程》后我布置了“一元一次方程应用的调查”这一作业，并给出了一些建议：

①利用方程是分析、解决实际问题的有力工具这一观点去观察和收集日常生活、生产实践中的一些相等关系；

②采访周围熟悉的有关人员，也可以去工厂、农村、商店、银行、电话公司等，与有关人员进行交流，收集你所需的数据和数量关系；

③用所研究的例子，构造一个或几个用一元一次方程解决的问题；

④汇报本次调查的活动过程、感受和成果。

⑤填写本次调查的活动评价表：

这些既有趣又紧密联系学生生活实际的数学问题有效地激发了学生参与探索的意识，在完成作业的过程中，使学生综合素质得到了提高。

5.利用反思使学生的能力得到全面提升

（1）反思知识点，形成认知网络。

数学知识是解决问题的基础，但如果储存在头脑中的知识是零散的、罗列的、堆积的，知识间没有建立起本质的联系或某种联系建立得不够完善，那么这种低级组织程度的认知结构，就会限制学生提取或检索与问题有关的知识，导致数学知识不能发挥有效的作用。

例如，在复习三角形三线（高线、角平分线、中线）这个知识点时，笔者发现，很多学生都认为这个知识太简单，对“三角形的三条高所在直线、三条角平分线以及三条中线分别相交于同一点”，“等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高三线合一”早已熟记在心，但一解题还会出错。

例1：已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于。  

错解：如图1  ∵BD⊥AC，BD= AB

∴∠A=30°

错因分析：学生没有认真理解“三线”的这个知识点，他们认为“三线”都在三角形内部。学生通过反思、讨论，最终对 “三线”这个知识点有了进一步理解，发现三角形的内心肯定在三角形内部，但三条高线所在直线的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部或某一个顶点上，于是得出了正确的解。

解：（1）当顶角为锐角时，

∵ ，∠BDA＝90°

∴∠A＝30°。

（2）当顶角为钝角时

∵BD＝ AB，∠BDA＝90°

∴∠BAD＝30°，则∠CAB＝150°。

还可通过对本题进一步反思，让学生自己发现三角形的外心也有三种可能的位置。

通过这样的反思训练，能使学生加深对数学知识间的关系的理解，帮助学生整理知识结构，逐步建立起一个条理化、有序化、网络化的认知体系，促使学生在解题活动中能迅速激活有关的数学知识，从而快速、准确地解题，培养敏捷的思维能力。

（2）反思解题方法，提高综合解题能力。

数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法。不能解完题就此罢手，如释重负。应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。

①一题多解，寻求规律 。

例2：在等边三角形（如图2所示）所在平面内找一点P，使△PAB、△PCA都是等腰三角形，这样的点P共有（）个。

（A）1    （B）4    （C）7    （D）10

错解：选A、B或C。                               

经过反思和探讨，学生发现本题的错误在于对图形的分类不全面而造成漏解，应对图形逐级分类：（1）点P在△ABC的内部时有1个点；（2）点P在△ABC的外部时有9个点。所以共有10个点，如图所示。                  

②多题一解，殊途同归。

例3：把y= 的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的函数解析式是————————。

通过这道题的反思，引导学生得出图象平移的规律，即“左加右减，上加下减”。再进一步引导学生思考图象绕着顶点旋转180°以及关于x轴或y轴对称的变化规律。

一题多解、多题一解，既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，同时又使学生认识到要真正理解所学的概念、定理、法则等知识，应养成全面思考、善于分析的习惯，提高自我认识水平。

（3）反思题目要求，培养思维的深刻性和灵活性。

对某些例题习题，完成解答后，要求学生适当改变题目的条件，举一反三，图形中某些因素的位置结构等，进行变式教学有利于拓宽学生的思路，提高应变能力，培养思维的深刻性和灵活性。例如：

A1

例4：如图，要在公路旁修建一个蔬菜收购站，由蔬菜基地A、B向收购站运送蔬菜，收购站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？

这是一道轴对称性质的应用题，根据两点之间线段最短，做出基地A关于公路的对称点A1,连接A1B,与公路相交于点O，O点即为所求。

解完后感到意犹未尽，尚有潜力可挖。于是加以引伸，作如下变化：如图，A、B两个村子在河CD同侧，它们到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km,CD=3km,现要在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费为每千米2万元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设的水管的费用最少，最少费用是多少？

  

此题为一实际问题，需具体分析，C处经A到B的管道更节省。此题意不是在CD上求一点使其到A、B两点距离之和最小，而只要过管道所需费用最少，两者是有区别的。

通过这样的演变，同学们时时处在一种愉快的探索之中，从而充分调动了学习的积极性和主动性，最大限度地启发思维。

（4）反思解题思路的完整性、严密性，培养学生逻辑思维。

总有不少学生眼高手低，拿到一道题，一看很简单，所涉及的知识点也很熟悉，解题方法也比较明确，于是思维就停留在较为肤浅的层面，结果解题时遇到障碍，这时才意识到自己思考问题缺乏完整性、严密性。反思解题思考路的严密性、完整性有利于培养学生思维的周密性，能达到培养学生形成较强的逻辑思维习惯的目的。

例5：如果反比例函数y=-1/x的图象上有两点A（x1、y1）B(x2、y2)，并且x1＜x2，那么下列说法正确的是

（A） y1＜ y2      （B） y1＞ y2  　　

（C）  y1= y2     （D） 不能确定

很多学生都选择B，显然，B是错误的。通过反思，学生了解到问题出在他们没有完整地掌握反比例函数的增减性，忘记了必须在每一个象限内这个条件。应选D。

（5）反思解题的规律，提高解题效率。

不少同学做题，易犯就事论事，就题论题，掌握的知识支离破碎，脑海一片空白。如果善于作解题后的反思，进一步作一题多变，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，进行方法的归类、规律的小结，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。

例6:（原例题)已知等腰三角形的腰长是4，底长为6；求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1 已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长。(这是考查逆向思维能力)

变式2 已等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求周长。（前两题相比，需要改变思维策略，进行分类）

变式3已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长。(显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性) 

变式4  已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。    

变式5  已知等腰三角形的腰长为X，底边长为y，周长是14。 请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。(与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0﹤y﹤2x的理解运用，是完成此问的关键) 
  通过例题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过掌握解题规律，有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势；有利于培养思维的变通性和灵活性。

 

九．研究不足

在本次研究中，由于种种原因还存在很多不足。特别是在对不同类型的课堂探究以及没有能够去区分研究，使的本次研究较为粗糙。在今后的教育教学过程中我们将对此进行更进一步的研究，以期尽可能完善对本课题的研究。总之，《初中数学“有效作业”的设计与评价的研究》的课题研究和开发将是一个长期过程。

2016．03